有限数学示例

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + \sqrt{36} - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

解题步骤 1

求解 $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + \sqrt{6^{2}} - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

解题步骤 1.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

解题步骤 1.2

化简 $3^{2} (\frac{1}{6})$ 。

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解题步骤 1.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 9 (\frac{1}{6})$

解题步骤 1.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 (3) \frac{1}{6}$

解题步骤 1.2.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.2.3

约去公因数。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.2.4

重写表达式。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 (\frac{1}{2})$

解题步骤 1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = \frac{3}{2}$

解题步骤 1.3

将所有不包含 $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 4 x = \frac{3}{2} - 6$

解题步骤 1.3.2

在等式两边都加上 $4 x$ 。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} - 6 + 4 x$

解题步骤 1.3.3

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} + 4 x$

解题步骤 1.3.4

组合 $- 6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + 4 x$

解题步骤 1.3.5

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3 - 6 \cdot 2}{2} + 4 x$

解题步骤 1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3 - 12}{2} + 4 x$

解题步骤 1.3.6.2

从 $3$ 中减去 $12$ 。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{- 9}{2} + 4 x$

解题步骤 1.3.7

将负号移到分数的前面。

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - \frac{9}{2} + 4 x$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}}^{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ 重写成 ${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{1} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 8$ 和 $4$ 相加。

${(\frac{x - 4}{2})}^{1} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3

化简。

$\frac{x - 4}{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$ 重写为 $(- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$ 。

$\frac{x - 4}{2} = (- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2} + 4 x) + 4 x (- \frac{9}{2} + 4 x)$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2}) - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2} + 4 x)$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2}) - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

乘以 $- \frac{9}{2} (- \frac{9}{2})$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 4}{2} = 1 (\frac{9}{2}) \frac{9}{2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.1.2

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{9}{2} \cdot \frac{9}{2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.1.3

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $\frac{9}{2}$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{9 \cdot 9}{2 \cdot 2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.1.4

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{2 \cdot 2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.1.2.1

将 $- \frac{9}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.2.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (2 (2 x)) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.2.3

约去公因数。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (2 (2 x)) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.2.4

重写表达式。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 9 (2 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.1.4.1

将 $- \frac{9}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 4 x \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 (2 x) \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.3

约去公因数。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 (2 x) \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.4

重写表达式。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 x \cdot - 9 + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.5

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 x (4 x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 x \cdot x$

解题步骤 3.3.1.3.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.7.1

移动 $x$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 x^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.8

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 16 x^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.2

从 $- 18 x$ 中减去 $18 x$ 。

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

解题步骤 4.2.1.1.2

重写表达式。

$x - 4 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 $(\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

运用分配律。

$x - 4 = \frac{81}{4} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x - 4 = \frac{81}{2 (2)} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.2.1.2

约去公因数。

$x - 4 = \frac{81}{2 \cdot 2} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.2.1.3

重写表达式。

$x - 4 = \frac{81}{2} - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 36$ 。

$x - 4 = \frac{81}{2} - 72 x + 16 x^{2} \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$x - 4 = \frac{81}{2} - 72 x + 32 x^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.3

移动 $\frac{81}{2}$ 。

$x - 4 = - 72 x + 32 x^{2} + \frac{81}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 72 x$ 和 $32 x^{2}$ 重新排序。

$x - 4 = 32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2}$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2} = x - 4$

解题步骤 4.3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.3.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2} - x = - 4$

解题步骤 4.3.2.2

从 $- 72 x$ 中减去 $x$ 。

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} = - 4$

解题步骤 4.3.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 4.3.3.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4 = 0$

解题步骤 4.3.3.2

化简 $32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2} = 0$

解题步骤 4.3.3.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} = 0$

解题步骤 4.3.3.2.3

在公分母上合并分子。

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81 + 4 \cdot 2}{2} = 0$

解题步骤 4.3.3.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.2.4.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81 + 8}{2} = 0$

解题步骤 4.3.3.2.4.2

将 $81$ 和 $8$ 相加。

$32 x^{2} - 73 x + \frac{89}{2} = 0$

解题步骤 4.3.4

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 4.3.4.1

运用分配律。

$2 (32 x^{2}) + 2 (- 73 x) + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

解题步骤 4.3.4.2

化简。

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解题步骤 4.3.4.2.1

将 $32$ 乘以 $2$ 。

$64 x^{2} + 2 (- 73 x) + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

解题步骤 4.3.4.2.2

将 $- 73$ 乘以 $2$ 。

$64 x^{2} - 146 x + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

解题步骤 4.3.4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.3.1

约去公因数。

$64 x^{2} - 146 x + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

解题步骤 4.3.4.2.3.2

重写表达式。

$64 x^{2} - 146 x + 89 = 0$

解题步骤 4.3.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.3.6

将 $a = 64$ 、 $b = - 146$ 和 $c = 89$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{146 \pm \sqrt{{(- 146)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 89)}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7

化简。

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解题步骤 4.3.7.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.7.1.1

对 $- 146$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 4 \cdot 64 \cdot 89}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 64 \cdot 89$ 。

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解题步骤 4.3.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $64$ 。

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 256 \cdot 89}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7.1.2.2

将 $- 256$ 乘以 $89$ 。

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 22784}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7.1.3

从 $21316$ 中减去 $22784$ 。

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1468}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7.1.4

将 $- 1468$ 重写为 $- 1 (1468)$ 。

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1468}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (1468)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1468}$ 。

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1468}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{1468}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7.1.7

将 $1468$ 重写为 $2^{2} \cdot 367$ 。

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解题步骤 4.3.7.1.7.1

从 $1468$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{4 (367)}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 367}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{146 \pm i \cdot (2 \sqrt{367})}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 4.3.7.2

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$x = \frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{128}$

解题步骤 4.3.7.3

化简 $\frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{128}$ 。

$x = \frac{73 \pm i \sqrt{367}}{64}$

解题步骤 4.3.8

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{73 + i \sqrt{367}}{64}, \frac{73 - i \sqrt{367}}{64}$

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